Dimensionstheorie

Wir wenden uns nun der Untersuchung gewisser Zerlegungseigenschaften endlichdimensionaler Raume zu. Jede endliche Menge ist ofl'enbar Summe von endlichvielen abgeschlossenen, namlich einpunktigen Mengen, die zu je zweien einen leeren Durchschnitt haben. Eine Strecke, d. h. ein Inter vall des RlI kann sIs Summe von endlichvielen abgeschlossenen Teilmengen (Teilstrecken) vorgeschriebener Maximallange dargestellt werden, die zu je zweien endliche (also hOchstens nulldimensionale) Durchschnitte und zu je dreien Ie ere Durchschnitte haben. Eine Quadratflache la13t sich in endlich viele abgeschlossene Teilmengen von vorgeschriebener Kleinheit zerlegen, die zu je zweien h6chstens eindimensionale, zu je dreien h6chstens null dimensionale, zu je vieren leere Durchschnitte haben. Es ist nun von groBer Wichtigkeit, daB aIle endlichdimensionalen separabeln Raume derartige Zerlegbarkeitseigenschaften b esitz en. Um dieselben bequem formulieren zu k6nnen, bedienen wir uns im folgenden einer abgekiirzten Ausdrucksweise. Wir werden in einem vor gelegten separabeln Raum R Systeme von endlichvielen Teilmengen mit irgendeiner bestimmten Eigenschaft zu betrachten haben, z. B. Systeme von endlichvielen ofl'enen Mengen, die paarweise fremd sind, oder Systeme von endlichvielen abgeschlossenen Mengen, die zu je dreien hochstens null dimensionale Durchschnitte haben und deren Summe gleich dem vorgelegten Raum R ist u. dgl. Wenn nun zu jedem vorgelegten endlichen Uberdeckungs system des Raumes R, d. h. zu jedem vorgelegten System von endlichvielen ofl'enen Mengen U Ui. I . . .